Intégrale d'une fonction de signe quelconque

Vocabulaire

On se place dans un repère orthogonal. Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(f\) une fonction définie et de signe constant sur l'intervalle \([a~;b]\).
On appelle aire algébrique sous la courbe de la fonction \(f\) entre \(a\) et \(b\) :

• l'aire sous la courbe de la fonction entre \(a\) et \(b\), en unités d'aire, lorsque \(f\) est positive sur \([a~;b]\) ;
• l'opposé de l'aire sous la courbe de la fonction entre \(a\) et \(b\), en unités d'aire, lorsque \(f\) est négative sur \([a~;b]\).
  

Remarque

L'aire algébrique sous la courbe de la fonction \(f\) entre \(a\) et \(b\) lorsque \(f\) est négative sur \([a~;b]\) est un nombre négatif.

Définition

Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(a \leqslant b\), \(f\) une fonction dont le signe varie sur l’intervalle \(\left[a~;~b\right]\) et \(\mathcal C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
L'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) notée \(\displaystyle\int_a^b f (x)\ \text dx\) est égale à la somme des aires algébriques (en unités d’aire) des domaines sur lesquels \(f\) garde un signe constant.

Exemple 

La figure suivante montre la courbe représentative d'une fonction \(f\).

Graphiquement on constate que :

• sur \([-1~;0]\) la fonction \(f\) est positive, on note \(\mathcal A_1\) l'aire sous sa courbe entre \(-1\) et \(0\) ;
  
• sur \([0~;1]\) la fonction \(f\) est négative, on note \(\mathcal A_2\) l'aire sous sa courbe entre \(0\) et \(1\) ;
  
• sur \([1~;3]\) la fonction \(f\) est positive, on note \(\mathcal A_3\) l'aire sous sa courbe entre \(1\) et \(3\).
  

Ainsi, \(\displaystyle\int_{-1}^3f(t)\ \text dt=\mathcal A_1-\mathcal A_2+\mathcal A_3\).

Remarque

Le fait que \(\displaystyle\int_a^b f (x)\ \text dx = 0\) ne signifie pas que la fonction est nulle.  

Exemple 
\(\displaystyle\int_{-1}^1 x\ \text dx = 0\) alors que l'aire algébrique sous la courbe de la fonction linéaire entre \(-1\) et \(1\) est égale à \(1\).